第134章 迷宫

  需要修改。

  也许不是所有p都计入？

  也许只有那些对“区分”m和n有贡献的p才计入？

  肖宿托腮思考了一会儿，他觉得定义2还不够完备。

  定义2在实际计算中，应该只考虑那些|m—n|_p ≠ 0的p，即p不整除m—n。

  对於这些p，|m—n|_p = 1。

  所以d(φ(m), φ(n))正比於这些p的权重和。

  当m—n固定时，这个和发散，所以需要正规化。

  减去发散项，留下有限部分。

  肖宿自己曾经在《数学发明》那篇论文中用过类似的技巧：对於素数计数函数的误差项，减去主项后，剩余部分可以用一个收敛的级数表示。

  在这里也可以用同样的方法。

  定义2 (正规化加权度量)：定义正规化距离d?(φ(m), φ(n)) = lim_{x→∞} [ Σ_{p≤x, p?(m—n)} w(p) Σ_{p≤x} w(p)/p ]

  这个定义的精妙之处在於，第一项求和是对所有不整除(m—n)的素数，第二项减去的是所有素数的某种平均。

  当x→∞时，两个发散项抵消，留下一个有限值。

  肖宿开始估算这个值。